继续教育

感受小学数学思想的力量

来源:摘自《人民教育》 作者:张景中 发布时间:2007-10-18 浏览次数: 【字体:
感受小学数学思想的力量
小学生学的数学很初等,很简单。
尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。
函数思想最重要
最重要的,首推函数的思想。
比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,有两个数确定一个数,诗歌二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。
在中学里学习函数概念,只讲一个函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。
当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。
比如学乘法,九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的21就变成了28。这里不是把3和4看承孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个植。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。
做除法要试商。80除以13,商是多少?试商5余15,不够;试商6余2,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程,就是调整函数的自变量,使函数值满足一定条件的过程。
小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。
例如,修一条长32千米的公路,已经修了24千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍,剩下的是24千米,总长48千米,比题设数据大了;如果是2倍呢,剩下的12千米,总长36千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长32千米,正好符合要求。
我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个苯办法。其实,这个办法具有一般性,把试解的倍数看承自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要的自变量,这个思路能解决很多问题,是“大智若愚”。
这样思考试算,最终也会发现具体的规律,列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看承函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。
“数形结合”在小学是可能的
数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及和一般形式的关系,等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。
提到数形结合,往往觉得解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。
在数学当中,几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念,最初都是从几何中来的。所以有人说,几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。
例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。
在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候,就要学生用“1”来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?如“一个圆有一个圆心”、“一条线段有1个中点”、“一个正方形有1个中心”等。有的老师会说。这样不幸,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的离子,这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样,在学习“2”的时候,我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段,只有画一条线段,指出两头是端点。到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学“3”的时候,可以画一个三角形,让学生说“三角形有3条边、3个顶点”;学“4”的时候,可以画一个正方形,让学生说“正方形有4条边、4个顶点”;学5的时候,可以画个五角星;认识“10”的时候,除了10个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段;穴道100以内的数,就可以告诉学生正方形的角是90度,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。
在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是也并非没有可取之处/学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去才能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。
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